BAB
I
PEMBAHASAN
A.
KESERUPAAN
Matriks adalah
sebuah operator linear.
Satu masalah mendasar dari aljabar linear
adalah perlunya memilih basis untuk V
yang membuat matriks T sesederhana mungkin. Masalah ini sering ditangani dengan
terlebih dahulu mancari dengan beberapa matriks T relatif terhadap basis
“sederhana” seperti basis baku. Biasanya,pilihan ini tidak menghasilkan matriks
T yang paling sederhana,sehingga kita mencari suatu cara untuk mengubah basis
tersebut supaya menyederhanakan matriksnya. Untuk memecahkan masalah seperti
ini,maka kita harus mengetahui bagaimana perubahan basis akan mempengaruhi
matriks operator linear.
|
Bukti. Untuk membuktikan teorema ini,maka akan memudahkan
untuk menjelaskan hubungan kita dapat menulisnya dalam bentuk gambar
|
u v
berlaku untuk semua x dalam V.
dan
|
Ini dapat dituliskan sebagai
|
Dan (5.21)
Untuk
meihat bagaimana matriks A dihubungkan dengan A’,maka misalkan P adalah matriks
transisi dari basis B’ ke B, sehingga adalah matriks transisi dari B ke B’. Jadi, dan yang dapat tuliskan sebagai
|
|
dan
(5.22)
Untuk mendapatkannya,maka hubungan
(5.21) dan (5.22) dapat dikaitkan bersama-sama dalam sebuah gambar sebagai
berikut :
|
|
|
Gambar ini melukiskan bahwa ada dua cara untuk mendapatkan
matriks dari matriks . Kita dapat mengambil jalan bawah
menyeberang gambar,yakni
(5.23)
Atau kita dapat menaiki sisi kiri,menyeberang atas,dan
menuruni sisi kanan,yakni
(5.24)
Jelaslah dari (5.23) dan (5.24) bahwa
(5.25)
Untuk semua x pada V. Jelaslah dari (5.25) dan bagian (b) dari
latihan 11 bahwa
Ini membuktikan teorema 8
Bila anda menerapkan
teorema 8. Maka hal yang mudah bagi anda untuk mengingat apakah p adalah
matriks transisi dari B ke B´ (tekbetul) atau dari B´ ke B (betul).Mungkin akan
menolong bila kita namakan B sebagai basis lama, B´ basis baru, A matriks lama,
dan A´ matriks baru, karena P adalah matriks transisi dari B´ ke B,maka adalah matriks transisi dari B ke B´.
Jadi (5.20) dapat dinyatakan sebagai :
Matriks baru = (matriks lama)P
Dimana P adalah matriks transisi dari basis baru ke
basis lama.
Untuk
lebih menotasikan cara tersebut agar mengingat rumus ini,kita dapat
menggambarkan notasi dan yang diperkenalkan pada bagian akhir. Dengan
notasi ini (5.20) dapat dinyatakan sebagai
:
= P
Contoh
1
Misalkan T: didefenisikan oleh
T
=
Carilah
matriks baku untuk T, yakni matriks T relatif terhadap basis B={,}, dimana
= =
Dan kemudian
gunakanlah teorema 8 untuk mentransformasikan matriks ini ke dalam matriks T relatif terhadap basis B´
= { ,}, dimana
= dan =
Pemecahan. Dalam bagian (a) dari contoh 33,kita
cari matriks T relatif terhadap basis
baku B menjadi
=
Selanjutnya
kita memerlukan matriks transisi dari B´ ke B. Untuk matriks
transisi ini kita memerlukan matriks koordinat untuk vektor-vektor basis B´
yang relatif terhadap basis B. Dengan pemeriksaan,
=
=
Sehingga
= dan =
Jadi,matriks transisi dari B’ ke B adalah
Anda dapat memeriksa bahwa
sehingga menurut Teorema 8 matriks T relatif
terhadap basis B’ adalah
Hal ini sesuai dengan hasil yang diperoleh dalam bagian (b)
dari contoh 33.
Contoh
ini melukiskan bahwa basis baku untuk ruang vektor tidak perlu menghasilkan
matriks yang paling sederhana untuk sebuah operator linear;kita lihat bahwa
matriks baku adalah
mempunyai struktur yang tidak sesederhana
matriks
(5.26)
Relatif
terhadap basis B’. Matriks (5.26) adalah sebuah contoh matriks diagonal;yakni
matriks kuadrat yang sama entri takdiagonalnya sama dengan nol. Matriks
diagonal mempunyai banyak sifat yang diinginkan. Misalnya,pangkat ke-K dari
matriks diagonal
D =
d1 0 ...
0 d1k 0
0
0 d2 ... 0 adalah =
0 d2k 0
0 0 dn
0 0
dnk
Jadi,untuk
menaikkan matriks diagonal hingga pangkat ke-K,maka kita hanya perlu menaikkan
setiap entri diagonal sampai pangkat ke-K. Untuk matriks takdiagonal maka lebih
banyak lagi perhitungan yang terlibat untuk mendapatkan pangkat ke-K. Matriks
diagonal juga mempunyai sifat lain yang berguna.
Pada bab selanjutnya kita bahas
permasalahan untuk mencari basis yang menghasilkan matriks diagonal untuk
operator linear.
|
Perhatikan bahwa persamaan dapat dituliskan kembali sebagai
Dengan memisalkan
Yang
mengatakan bahwa A serupa dengan B. Maka,B serupa dengan A jika dan hanya jika
A serupa dengan B; akibatnya, kita biasanya akan mengatakan saja bahwa A dan B
serupa.
Dalam
terminologi ini, Teorema 8 membuktikan bahwa dua matriks yang diberikan sama dengan operator linear yang bertalian dengan basis yang berlainan
adalah serupaan.
Contoh
2
Misalkan T: didefenisikan oleh
T
=
Tentukan
det(T).
Penyelesaian.
Kita
dapat memilih basis sebarang B dan menghitung . Jika kita memilih basis standar,
maka dari contoh 1diperoleh
= sehingga det(T) = = 6
Apabila kita
memilih basis B´ = { ,}, yang diberikan pada contoh 1 maka kita akan
memperoleh
= sehingga det(T) = = 6
Contoh 3:
Tentukan
matriks untuk T berkenaan dengan B, dan gunakan Teorema 8.5.2. untuk
menghitung matriks untuk T berkenaan
dengan B’.
T: R2→R2
didefinisikan oleh
T
B = dan B’
= dimana
,
Penyelesaian:
a.
= =
[T]B
=
b.
Langkah 1: Menentukan matriks transisi
Langkah
2: Menentukan
2
Langkah
3: Substitusikan kedalam Teorema 8.5.2
[T]B’
= . [T]B. P
[T]B’
=
[T]B’
=
[T]B’
=
[T]B’
=
B.
PEMBAHASAN SOAL KELOMPOK 1 DAN 2
a. Kelompok 1
Soal
Perhatikan basis untuk , dimana , , dan . Misalkan adalah transformasi linear sedemikian rupa
sehingga
, ,
Tentukan
sebuah rumus untuk dan gunakan rumus tersebut untuk menentukan .
Penyelesaian:
Pertama-tama
kita menyatakan sebagai sebuah kombinasi linear , , dan . Jika ditulis
Maka
dengan menyusun persamaan dari komponen-komponen yang bersesuaian, maka akan
diperoleh
Yang aka
menghasilkan , , , sehingga
Dengan
demikian,
Dari rumus ini kita memperoleh
b.
Kelompok 2
Contoh 1 :
Misalkan
adalah operator linear yang
didefenisikan oleh
Dan adalah sebuah basis sedemikian rupa sehingga
= dan = basis baku
Tentukan
Penyelesaian :
Karena B adalah basis baku untuk bahwa adalah matriks baku untuk T.
T() = T
() =
Maka =
Contoh 2 :
Misalkan
T : P2 P2 adalah operaor linear yang
didefinisikan oleh
T
=. Tentukan
matriks untuk T berkenaan dengan basis standar B ={ 1,x,x2} untuk P2.
Penyelesaian
:
Dari
rumus T.
T(1)
= 1, T(x) = x – 1, T(x2) = ( x -1 )2 = x2
– 2x +1
Sehingga
[
T(1) ]B =, [ T(x) ]B = , [T(x2)]B =
Dengan
demikian
[T]B
=
No comments:
Post a Comment