KESERUPAAN

BAB I

PEMBAHASAN

A.    KESERUPAAN

Matriks adalah sebuah operator linear.

 Satu masalah mendasar dari aljabar linear adalah perlunya memilih basis untuk V yang membuat matriks T sesederhana mungkin. Masalah ini sering ditangani dengan terlebih dahulu mancari dengan beberapa matriks T relatif terhadap basis “sederhana” seperti basis baku. Biasanya,pilihan ini tidak menghasilkan matriks T yang paling sederhana,sehingga kita mencari suatu cara untuk mengubah basis tersebut supaya menyederhanakan matriksnya. Untuk memecahkan masalah seperti ini,maka kita harus mengetahui bagaimana perubahan basis akan mempengaruhi matriks operator linear.

Teorema 8. Misalkan  adalah matriks operator linear pada ruang vektor  berdimensi berhingga,Jika A adalah matriks T terhadap basis B,dan A’ adalah matriks T terhadap basis B’,maka

Teorema berikut akan menjabarkan hasil ini.

Bukti. Untuk membuktikan teorema ini,maka akan memudahkan untuk menjelaskan hubungan  kita dapat menulisnya dalam bentuk gambar

	A

 

u                   v 

 berlaku untuk semua x dalam V.

  dan

	A

 

Ini dapat dituliskan sebagai                      

A

 

Dan                                          (5.21)

Untuk meihat bagaimana matriks A dihubungkan dengan A’,maka misalkan P adalah matriks transisi dari basis B’ ke B, sehingga  adalah matriks transisi dari B ke B’. Jadi,  dan  yang dapat tuliskan sebagai

	P

 

                                 dan                                                 (5.22)

Untuk mendapatkannya,maka hubungan (5.21) dan (5.22) dapat dikaitkan bersama-sama dalam sebuah gambar sebagai berikut :

A

           

                     

P

                         

                                               

Gambar ini melukiskan bahwa ada dua cara untuk mendapatkan matriks  dari matriks . Kita dapat mengambil jalan bawah menyeberang gambar,yakni

                 (5.23)

Atau kita dapat menaiki sisi kiri,menyeberang atas,dan menuruni sisi kanan,yakni

        (5.24)

Jelaslah dari (5.23) dan (5.24) bahwa

          (5.25)

Untuk semua x pada V. Jelaslah dari (5.25) dan bagian (b) dari latihan 11 bahwa

Ini membuktikan teorema 8

Bila anda menerapkan teorema 8. Maka hal yang mudah bagi anda untuk mengingat apakah p adalah matriks transisi dari B ke B´ (tekbetul) atau dari B´ ke B (betul).Mungkin akan menolong bila kita namakan B sebagai basis lama, B´ basis baru, A matriks lama, dan A´ matriks baru, karena P adalah matriks transisi dari B´ ke B,maka  adalah matriks transisi dari B ke B´. Jadi (5.20) dapat dinyatakan sebagai :

 Matriks baru =   (matriks lama)P

Dimana P adalah matriks transisi dari basis baru ke basis lama.

            Untuk lebih menotasikan cara tersebut agar mengingat rumus ini,kita dapat menggambarkan notasi  dan   yang diperkenalkan pada bagian akhir. Dengan notasi ini (5.20) dapat dinyatakan sebagai  :

 =  P

Contoh 1

Misalkan T:  didefenisikan oleh

                                                            T  =

Carilah matriks baku untuk T, yakni matriks T relatif terhadap basis B={,}, dimana

                                                            =   =

Dan kemudian gunakanlah teorema 8 untuk mentransformasikan matriks ini ke dalam matriks  T relatif terhadap basis B´ = { ,}, dimana

                                                            =  dan =

Pemecahan. Dalam bagian (a) dari contoh 33,kita cari matriks  T relatif terhadap basis baku B menjadi

                                                             =

Selanjutnya kita memerlukan matriks transisi dari B´ ke B. Untuk matriks transisi ini kita memerlukan matriks koordinat untuk vektor-vektor basis B´ yang relatif terhadap basis B. Dengan pemeriksaan,

=

 =

Sehingga

 =  dan  =

Jadi,matriks transisi dari B’ ke B adalah

Anda dapat memeriksa bahwa

 sehingga menurut Teorema 8 matriks T relatif terhadap basis B’ adalah

Hal ini sesuai dengan hasil yang diperoleh dalam bagian (b) dari contoh 33.

Contoh ini melukiskan bahwa basis baku untuk ruang vektor tidak perlu menghasilkan matriks yang paling sederhana untuk sebuah operator linear;kita lihat bahwa matriks baku adalah

 mempunyai struktur yang tidak sesederhana matriks

                                     (5.26)

Relatif terhadap basis B’. Matriks (5.26) adalah sebuah contoh matriks diagonal;yakni matriks kuadrat yang sama entri takdiagonalnya sama dengan nol. Matriks diagonal mempunyai banyak sifat yang diinginkan. Misalnya,pangkat ke-K dari matriks diagonal

D =    d₁    0   ...   0                             d₁^k    0      0           

   0     d₂   ...  0      adalah =    0      d₂^k    0

                                                                    

   0     0      d_n                                                         0        0        d_n^k      

Jadi,untuk menaikkan matriks diagonal hingga pangkat ke-K,maka kita hanya perlu menaikkan setiap entri diagonal sampai pangkat ke-K. Untuk matriks takdiagonal maka lebih banyak lagi perhitungan yang terlibat untuk mendapatkan pangkat ke-K. Matriks diagonal juga mempunyai sifat lain yang berguna.

Pada bab selanjutnya kita bahas permasalahan untuk mencari basis yang menghasilkan matriks diagonal untuk operator linear.

Defenisi. Jika A dan B adalah matriks kuadrat,maka kita sebut bahwa Bsama dengan A jika terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga

Teorema 8 memotivasi defenisi berikut.

Perhatikan bahwa persamaan  dapat dituliskan kembali sebagai

Dengan memisalkan

Yang mengatakan bahwa A serupa dengan B. Maka,B serupa dengan A jika dan hanya jika A serupa dengan B; akibatnya, kita biasanya akan mengatakan saja bahwa A dan B serupa.

Dalam terminologi ini, Teorema 8 membuktikan bahwa dua matriks yang diberikan sama dengan operator linear  yang bertalian dengan basis yang berlainan adalah serupaan.

Contoh 2

 Misalkan T:  didefenisikan oleh

                                                            T  =

Tentukan det(T).

Penyelesaian.

Kita dapat memilih basis sebarang B dan menghitung  . Jika kita memilih basis standar, maka dari contoh 1diperoleh

 =           sehingga          det(T) =  = 6

Apabila kita memilih basis B´ = { ,},  yang diberikan pada contoh 1 maka kita akan memperoleh

 =              sehingga          det(T) =  = 6

Contoh 3:

Tentukan matriks untuk T berkenaan dengan B, dan gunakan Teorema 8.5.2. untuk menghitung matriks untuk T berkenaan dengan B’.

T: R²→R² didefinisikan oleh

T

B =  dan B’ =  dimana

,                        

Penyelesaian:

a.        =             =

[T]_B =

b.      Langkah 1: Menentukan matriks transisi

         

 

 

Langkah 2: Menentukan

 

 

 2

Langkah 3: Substitusikan kedalam Teorema 8.5.2

[T]_B’ = . [T]_B. P

[T]_B’ =

[T]_B’ =

[T]_B’ =

[T]_B’ =

B.     PEMBAHASAN SOAL KELOMPOK 1 DAN 2

a.       Kelompok 1

Soal

Perhatikan basis  untuk , dimana , , dan . Misalkan  adalah transformasi linear sedemikian rupa sehingga

                        ,                    ,       

Tentukan sebuah rumus untuk  dan gunakan rumus tersebut untuk menentukan .

Penyelesaian:

Pertama-tama kita menyatakan  sebagai sebuah kombinasi linear , , dan . Jika ditulis

Maka dengan menyusun persamaan dari komponen-komponen yang bersesuaian, maka akan diperoleh

Yang aka menghasilkan , , , sehingga

                       
                                         

Dengan demikian,

 

Dari rumus ini kita memperoleh

        

b.      Kelompok 2

Contoh 1 :

Misalkan  adalah operator linear yang didefenisikan oleh

 

Dan  adalah sebuah basis sedemikian rupa sehingga

  =  dan  =  basis baku

Tentukan

Penyelesaian :

Karena B adalah basis baku untuk  bahwa  adalah matriks baku untuk T.

T() =             T () =  

Maka  =

Contoh 2 :

Misalkan T : P₂  P₂ adalah operaor linear yang didefinisikan oleh

T =. Tentukan matriks untuk T berkenaan dengan basis standar B ={ 1,x,x²} untuk P^2.

Penyelesaian :

Dari rumus T.

T(1) = 1,    T(x) = x – 1,    T(x²) = ( x -1 )² = x² – 2x +1

Sehingga

[ T(1) ]_B  =,                   [ T(x) ]_B = ,         [T(x²)]_B =

Dengan demikian

[T]_B =